Ziegenproblem

02. Januar 2014 11:26; Akt: 02.01.2014 14:05 Print

Wie zwei Geissen die Köpfe zum Rauchen brachten

von Rolf Maag - Vor über 20 Jahren löste eine Denksportaufgabe über zwei Ziegen und ein Auto eine heftige Kontroverse aus. Sie verrät uns einiges über das menschliche Denken und verblüfft bis heute.

Ein Filmausschnitt, in dem das Ziegenproblem auf witzige Weise erläutert wird. (Quelle: Youtube/schila68)
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Die amerikanische Journalistin Marilyn vos Savant gilt als die Frau mit dem höchsten je gemessenen Intelligenzquotienten. In der Zeitung «Parade» beantwortet sie seit Jahrzehnten Fragen, die ihr von Lesern gestellt werden.

1990 fragte Craig F. Whitaker aus Columbia, Maryland: «Sie nehmen an einer Spielshow im Fernsehen teil, bei der Sie eine von drei verschlossenen Türen auswählen sollen. Hinter einer der Türen wartet der Preis, ein Auto, hinter den beiden anderen stehen Ziegen. Sie zeigen auf eine Tür, sagen wir Nummer eins. Sie bleibt vorerst geschlossen. Der Moderator weiss, hinter welcher Tür sich das Auto befindet; er öffnet eine andere Tür, sagen wir Nummer 3, und eine meckernde Ziege schaut hervor. Er fragt: «Bleiben Sie bei Nummer eins, oder wählen Sie Nummer zwei?»

Sturm der Entrüstung

Marilyn vos Savant antwortete: «Sie sollten wechseln. Tür Nummer eins hat eine Gewinnwahrscheinlichkeit von einem Drittel, Nummer zwei dagegen von zwei Dritteln.» Nun war die Hölle los.

Rund 10'000 Leserbriefe gingen bei «Parade» ein. Etwa 99 Prozent ihrer Verfasser waren überzeugt, dass Marilyn vos Savant die falsche Antwort gegeben habe. «Es gibt schon genug mathematische Unwissenheit in diesem Land», beschwerte sich ein Akademiker, «wir brauchen nicht den höchsten IQ der Welt, um diese Unwissenheit zu vertiefen. Schämen Sie sich!» Ein weiterer Leser merkte höhnisch an: «Vielleicht haben Frauen eine andere Sicht mathematischer Probleme als Männer.» Doch vos Savant hatte recht. Warum? Und wie ist es zu erklären, dass so viele Leute – darunter auch promovierte Mathematiker – das partout nicht einsehen wollten?

Zwei Ziegen, ein Auto

Nehmen wir an, der Kandidat habe sich zunächst für Tür 1 entschieden. Der Moderator muss in jedem Fall eine Tür öffnen, hinter der sich eine Ziege verbirgt, sonst wäre das Spiel sofort beendet. Nun sind drei Fälle möglich:

Fall 1: Das Auto ist hinter Tür 1. In dieser Situation kann der Moderator Tür 2 oder Tür 3 öffnen, da es sich bei beiden um Ziegentüren handelt. Wenn der Kandidat nun wechselt, gewinnt er das Auto nicht, denn er erwischt zwingend die vom Moderator nicht geöffnete Ziegentür.

Fall 2: Das Auto ist hinter Tür 2. Bei diesem Szenario muss der Moderator Tür 3 öffnen, weil er weder die vom Kandidaten gewählte noch die Autotür öffnen darf. Entscheidet sich der Kandidat jetzt um, landet er automatisch bei der Autotür, denn er hat am Anfang eine Ziegentür (Tür 1) gewählt, und der Moderator hat anschliessend die zweite Ziegentür (Tür 3) für ihn geöffnet.

Fall 3: Das Auto ist hinter Tür 3. Diese Konstellation ist identisch mit Fall 2: Der Kandidat hat sich für eine Ziegentür (Tür 1) entschieden, also kann der Moderator nur die andere Ziegentür (Tür 2) öffnen. Somit ist der Kandidat bei einem Wechsel zu Tür 3 der glückliche Gewinner.

Wie vos Savant behauptet hatte, gewinnt der Kandidat in zwei von drei Fällen, wenn er wechselt. Offensichtlich liegt das daran, dass die erste Wahl des Kandidaten mit einer Wahrscheinlichkeit von zwei Dritteln falsch war, denn es gibt nur eine Autotür, aber zwei Ziegentüren. Dennoch meinen nicht nur vos Savants damalige Kritiker, sondern fast alle, denen man dieses Problem vorlegt, es komme nicht darauf an, ob der Kandidat wechselt oder bei seiner ursprünglichen Entscheidung bleibt.

Basisratenfehler

Hier spielt uns die Tatsache einen Streich, dass wir alle – professionelle Statistiker eingeschlossen – ein schlechtes intuitives Verständnis von Wahrscheinlichkeiten haben. Wir starren darauf, dass eine Autotür und eine Ziegentür übrig bleiben, wenn der Moderator eine Ziegentür geöffnet hat, und meinen daher, der Kandidat habe eine Gewinnchance von 50 Prozent, wenn er wechselt. Dabei übersehen wir, dass die Erfolgswahrscheinlichkeiten beider Wahlen des Kandidaten von der sogenannten Basisrate, also der zahlenmässigen Verteilung von Ziegentüren und Autotüren, abhängen. Man nennt diesen Fehlschluss daher auch «Basisratenfehler» (Base Rate Fallacy).

Bauer oder Bibliothekar?

Die israelischen Psychologen Amos Tversky und Daniel Kahneman haben den Basisratenfehler in Dutzenden von Experimenten untersucht. Beispielsweise legten sie ihren Probanden die Beschreibung einer fiktiven Person namens Steve vor: «Steve ist sehr schüchtern, zurückhaltend und stets hilfsbereit, doch er zeigt wenig Interesse an Menschen und der Realität. Er ist sanft und ordentlich, er hat ein starkes Bedürfnis nach Ordnung und Struktur und ist detailbesessen. Steve ist entweder Bauer oder Bibliothekar. Was halten Sie für wahrscheinlicher?»

Natürlich entspricht Steves Persönlichkeit ziemlich genau dem Stereotyp eines Bibliothekars; es überrascht also nicht, dass ihn die meisten «Versuchskaninchen» für einen Bibliothekar hielten. Sie bedachten dabei nicht, dass es in der Bevölkerung etwa 20-mal so viele Bauern wie Bibliothekare gibt – jedenfalls in den USA, wo das Experiment durchgeführt wurde. Es ist also fast sicher, dass mehr Bauern als Bibliothekare Steves Persönlichkeitsstruktur aufweisen, auch wenn dieser Typ unter Bibliothekaren verbreiteter sein mag. Auch hier liegt der Basisratenfehler vor: Die Verteilung der Bauern und der Bibliothekare in der Bevölkerung entspricht der Verteilung der Ziegen und des Autos hinter den Türen.

Keine überstürzten Urteile

Sowohl das Ziegenproblem als auch die Frage nach Steves Beruf zeigen eindrücklich, dass man sehr schnell einen Aspekt übersehen kann, der für die Beantwortung einer Frage relevant ist. Wenn wir also eine Entscheidung treffen müssen, von der sehr viel abhängt, sollten wir das Problem von möglichst vielen Seiten betrachten und Fehlerquellen zu identifizieren versuchen; das sogenannte Bauchgefühl kann einen leicht in die Irre führen. Andererseits müssen wir uns stets bewusst sein, dass uns das nie ganz gelingen wird, weil wir eben nicht die rationalen Wesen sind, für die wir uns manchmal halten. Im Idealfall werden wir durch diese Erkenntnis nachsichtiger – mit anderen, aber auch mit uns selbst.

Wer es noch genauer wissen will, kann sich hier die Erklärung des Mathematikers Rudolf Taschner zu Gemüte führen. (Quelle: Youtube/mathspacewien)

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Die beliebtesten Leser-Kommentare

  • der Geissenpeter am 02.01.2014 16:04 Report Diesen Beitrag melden

    3 Gewinne

    Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sic h unter den Kommentatoren mehr Mathematiker als Bauern befinden? Und überhaupt. Hinter den drei Toren befinden sich 3 Gewinne. Und wer sagt, dass ein Auto unbedingt der bessere Preis als eine Ziege ist? Alles eine Frage der Prioritäten. Denn auf Dauer kommt das Auto teurer zu stehen als die Ziege, die gratis meinen Rasen mäht.

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  • T. Hotz am 02.01.2014 15:58 Report Diesen Beitrag melden

    Mythbusters

    Schaut Euch mal das Video der Mythbusters dazu an. Sie haben die mathematische Komponente absichtlich weggelassen, da diese eben zu viele verwirrt. Die beiden Protagonisten haben einfach genau das Spiel gespielt; einer der beiden hat nach dem Aufdecken eines der drei Türchen gewechselt, der andere nicht. Und wer hat wesentlich (!) mehr gewonnen? Genau, derjenige, der wechselte...

  • huwi, Luzern am 02.01.2014 15:42 Report Diesen Beitrag melden

    @Leser

    Ich nehme an, Sie haben das Viseo nicht geschaut. Also ich habe es mir gegönnt. Es ist fantastisch, diese Logik! Am schönsten erklärt mit den 1001 Türen. Ich gebe Herrn Prof. Töchterle absolut recht, der Mensch denkt irrational und unlogisch! Ich liebe übrigens solche Knacknüsse, die an den Rand der Mathematik gehen...

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Die neusten Leser-Kommentare

  • Hans N. am 04.01.2014 10:09 via via Mobile Report Diesen Beitrag melden

    Nicht soooo schwierig

    Naja soo schwierig ist es nun auch wieder nicht... Wenn der Kandidat wechselt, verliert er nur dann, wenn er von Anfang an das richtige Tor wählt. Die chancen dafür sind 1/3.

  • M.C. am 04.01.2014 02:17 via via Mobile Report Diesen Beitrag melden

    Video

    schaut das Video an. da raucht zwar einem etwas der Kopf, aber es erklärt wieso die Dame recht hatte.

  • Wahrscheindlich am 04.01.2014 01:09 via via Mobile Report Diesen Beitrag melden

    Super vortrag

    Sehr intressanter vortragsfilm im beitrag die ganzen 52 minuten sind sehenswert und ich habe etwas dazu gelernt :) 21 auch ein super film :)

  • Schlaus-Chind am 04.01.2014 00:27 via via Mobile Report Diesen Beitrag melden

    :)

    Ich Verstehe es, es ist ja auch nicht schwirig aber ich finde das hat mehr mit dem Gefhl zu tun.

  • studi am 03.01.2014 20:35 via via Mobile Report Diesen Beitrag melden

    was ist neu daran?

    verstehe nicht warum das hier diskutiert wird? hatten wir doch vor jahren schon in der wahrscheinlichkeitsrechnung?